Διακλάδωση

Διακλαδώσεις

Η έννοια της διχοτόμησης χρησιμοποιείται ευρέως σε διάφορα γνωστικά πεδία και σχετίζεται με θεμελιώδη φαινόμενα που προκύπτουν κατά τη διάρκεια συνεχών μεταβάσεων δυναμικών συστημάτων από τη μια κατάσταση στην άλλη.

Στα μαθηματικά, η διχοτόμηση είναι μια αλλαγή στην ποιοτική φύση της λύσης σε ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων ανάλογα με τις παραμέτρους του συστήματος. Η μετάβαση σε έναν νέο τύπο λύσης συμβαίνει με μια αλλαγή στην τιμή της παραμέτρου (το λεγόμενο "σημείο διχοτόμησης"). Σε αυτήν την περίπτωση, δημιουργείται χάος, το οποίο καθορίζει τη συμπεριφορά των λύσεων συστήματος εκτός της περιοχής στην οποία η τιμή της παραμέτρου παρέμεινε αμετάβλητη.

Οι περισσότερες ειδικές περιπτώσεις διακλάδωσης, που συνοδεύονται από αλλαγή στον τύπο του διαλύματος, λαμβάνουν χώρα στα κρίσιμα όρια περιοχών (για παράδειγμα, ένα σύστημα λυοφινιδίου). Ωστόσο, υπάρχουν επίσης παραδείγματα που παρατηρούνται εντός της περιοχής, όταν μια μικρή αλλαγή στην παράμετρο (συμπεριλαμβανομένων εκείνων που σχετίζονται με εντελώς διαφορετικές περιοχές του χώρου φάσης) οδηγεί σε ριζική αλλαγή στη συμπεριφορά των λύσεων του συστήματος (εκτός αυτής της περιοχής).

Ταξινόμηση διακλαδώσεων

Οι διακλαδώσεις μπορούν να ταξινομηθούν ανάλογα με το είδος των αλλαγών και τη σημασία των ταλαντώσεων, από τον τύπο της εμφάνισής τους, τη μέθοδο κατασκευής τους, καθώς και από την παράμετρο που χαρακτηρίζει τη διακλάδωση (ή το λεγόμενο «αμετάβλητο» του διακλάδωση). Η κλασική ταξινόμηση των διακλαδώσεων τις κατατάσσει σε τρεις ομάδες: στο πεδίο των σύνθετων τιμών παραμέτρων, στο τεταρτημόριο και στον τρισδιάστατο (χωρικό) χώρο. Ο B. Heilburton διέκρινε δύο ομάδες στην ταξινόμηση των διακλαδώσεων: τις αρχές και τις ακαδημαϊκές. Κατασκευάζοντας μια ταξινόμηση θεμελιωδώς πιθανών διακλαδώσεων